Füüsika IX klassile

Iga teaduse ülesandeks on anda inimese käsutusse meetodeid, mis aitaksid neil ette näha ühe või teise nähtuse kulgu looduses. Teiste sõnadega, teadus peab aitama ennustada tulevikku ja seletada minevikku. Ainult siis võib loodusnähtusi kasutada inimkonna hüvanguks. Kui näiteks keemikud ei oleks uurinud ainete vastastikust mõju, siis poleks olemas ka tänapäeva keemiatööstust, mis annab inimestele tohutul hulgal mitmesuguseid vajalikke aineid. Kui ei oleks uuritud taimi, nende toitumist ja kasvamist, siis oleks raske arendada põllumajandust ja ette näha, mida me saame mingi seemnesordi külvamisel või mingi maaharimisviisi kasutamisel. Kogu tänapäeva tehnika põhineb tulevikus toimuva etteteadmisel. Kui insener konstrueerib mingi masina, siis ta kujutleb juba varem, kuidas see masin töötama hakkab, sest ta kasutab teaduse andmeid.

Iga nähtuse kohta võib öelda, et see toimub kusagil ja millalgi. Kõik nähtused toimuvad ruumis (k u s?) ja ajas (mi I I a I?).

Kõigist maailmas toimuvaist nähtustest on meile tuttavaim mehaaniline liikumine, sest see on füüsika ja tehnika aluseks. Mis nähtus see on?

Kui keha asukoht aja jooksul muutub, siis öeldakse, et keha liigub.

Keha mehaaniliseks liikumiseks nimetatakse tema asukoha muutumist ruumis teiste kehade suhtes aja jooksul.

Kehade liikumise uurimisega tegeleb füüsika osa, mida nimetatakse mehaanikaks. Mehaanika vastab igasugustele kehade liikumisega seotud küsimustele. Mehaanika põhiülesandeks on aga liikuva keha asukoha määramine mis tahes ajahetkel.

Astronoomid võivad mehaanika seaduste põhjal täpselt välja arvutada taevakehade asukohad igal ajahetkel ning ennustada, millal toimuvad mitmesugused taevanähtused, näiteks päikese- ja kuuvarjutused.

Mehaanika seadused võimaldavad määrata keha asukohta mitte ainult tulevikus, vaid ka minevikus. Kui ajaloolased poleks teadnud, millal vürst Igor läks polovetside vastu sõjaretkele, siis astronoomid oleksid võinud selle kergesti välja arvutada. Nii mainitakse kõigile tuntud «Loos Igori sõjaretkest», et enne Igori sõjaväe tungimist polovetside maale esines täielik päikesevarjutus. Selle põhjal võis kindlaks teha, et Igor oli oma družiinaga polovetside maa piirialadel 1. mail 1185. aastal.*

Maa tehiskaaslase kanderaketi väljasaatmisel kasutavad teadlased mehaanika seadusi selleks, et hiigelsuure täpsusega ette öelda, kus asub tehiskaas- lane igal ajahetkel. Selle tulemusena põkkusid 17. juulil 1975. a. antud kohas ja antud ajahetkel kaks Maa tehiskaaslast — Aasiast välja saadetud Nõukogude tehiskaaslane «Sojuz» ja Ameerikast välja saadetud USA tehiskaaslane «Apollo».

Suurtükist tulistava mürsu trajektoori arvutamine mehaanika seaduste põhjal võimaldab täpselt märki tabada. Mehaanika seaduste abil võib ette näha, millisel ajahetkel satub detail keerukal, paljude operatsioonidega konveieril vajalikku kohta.

Mehaanika kursus, mille õppimist me alustame, vaatleb, kuidas on põhimõtteliselt võimalik arvutada rakettide, Maa tehiskaaslaste, planeetide, mürskude ja paljude teiste kehade liikumist, s. t. selles kursuses näidatakse, kuidas lahendada mehaanika põhiülesannet ja teisi ülesandeid.

Et uurida keha liikumist, s. t. tema asukoha muutumist ruumis, tuleb eelkõige osata määrata asukohta. Kuid seejuures tekivad mõned raskused. Igal kehal on mingid mõõtmed; seega keha erinevad osad, tema eri punktid asuvad ruumi erinevates kohtades. Kuidas siis määrata kogu keha asukoht? Üldjuhul on seda raske teha. Kuid ilmneb, et paljudel juhtudel ei olegi vaja näidata liikuva keha iga punkti asukohta.

Seda ei ole vaja teha neil juhtudel, kui keha kõik punktid liiguvad ühesuguselt. Milleks kirjeldada näiteks mäest üles veetava kelgu iga punkti liikumist, kui punktide liikumised üksteisest oluliselt ei erine?

Ühesuguselt liiguvad näiteks jõel ujuva praami kõik punktid, lauale tõstetava kohvri (joon. 1) punktid jne.

Liikumist, mille korral keha kõik punktid liiguvad ühesuguselt, nimetatakse kulgliikumiseks. Kulgliikumisel jääb iga kehas mõtteliselt tõmmatud sirge iseendaga paralleelseks.

Edaspidi vaatlemegi kulgliikumist.

Keha iga punkti liikumist pole vaja kirjeldada ka sel juhul, kui keha mõõtmed on väikesed, võrreldes läbitud vahemaa või kaugusega teiste kehadeni.

Neil juhtudel võib keha mõõtmed arvestamata jätta. Näiteks on ookeaniaurik väike, võrreldes tema poolt läbitud tee pikkusega. Laeva liikumise kirjeldamisel ookeanil loetakse laev punktiks. Samuti toimitakse näiteks astronoomias taevakehade liikumise uurimisel. Planeedid, tähed ja Päike ei ole muidugi väikesed kehad, kuid Maa raadius on Maa ja Päikese vahelisest kaugusest 24 000 korda väiksem. Seetõttu võib Maad lugeda punktiks, mis tiirleb ümber teise punkti — Päikese keskpunkti.

Kõikidel sellistel juhtudel võib kehi lugeda punktideks. Rääkides edaspidi keha liikumisest, peame tegelikult silmas selle keha mingi punkti liikumist. Seejuures ei tohi unustada, et see punkt on materiaalne, s. t. sellel on olemas kõik tavalise keha omadused, peale mõõtmete.

Keha, mille mõõtmed võib antud liikumistingimustes arvestamata jätta, nimetatakse punktmassiks.

Sõnad «antud tingimustes» tähendavad, et üht ja sama keha võib ühtedes liikumistingimustes lugeda punktmassiks, teistes aga mitte. Kui näiteks poissläbib koolist koju tulles tee pikkusega 1 km (joon. 2, a), siis selles liikumises võib poissi vaadelda punktmassina, sest poisi mõõtmed on tema poolt läbitud tee pikkusega võrreldes väikesed. Kui aga sama poiss teeb hommikuvõimlemist (joon. 2, b), siis ei või teda enam kuidagi punktmassiks lugeda.

Joon. 2a.	Joon. 2b.

Kuidas määrata keha asukohta? Ühes vanas, meie ajaarvamise algusesse kuuluvas dokumendis on toodud järgmine aarde peidukoha kirjeldus: «Mine küla äärmise maja idapoolse nurga juurde ja pöördu näoga põhja poole, kõnni $120$ sammu, pöördu näoga itta ja kõnni veel $200$ sammu. Selles kohas kaeva $10$ küünra sügavune auk ja sa leiad 100 talenti kulda.» Kui selles dokumendis nimetatud maja ja küla oleksid säilinud tänapäevani, siis poleks selle aarde leidmine raske. Kuid loomulikult pole sellest majast ja külast enam jälgegi järel ning sellepärast on aarde leidmine võimatu. Sellest näitest ilmneb, et keha või punkti asukohta võib anda ainult mingi teise keha, nn. taustkeha suhtes.

Taustkeha võib valida täiesti vabalt. Selleks võib olla näiteks maja, milles me elame, vagun, milles me sõidame, või igasugune teine keha. Taustkehadeks võivad olla ka Maa, Päike ja tähed. Et me elame Maal, siis on meil mugav määrata keha asukohta Maa suhtes. Astronoomid aga eelistavad määrata asukohta tähtede suhtes.

Kui taustkeha on valitud, siis läbi selle keha mingi punkti tõmmatakse koordinaatteljed ning vaadeldava keha iga punkti asukoht määratakse tema koordinaatidega. Kõik see on teile tuttav V klassi matemaatika kursusest.

Määrame näiteks auto asukoha teel (joon. 3).

Taustkehaks valime teeäärse asula $A$. Kujutame piki teed koordinaattelje $OX$. Koordinaatide alguspunkt olgu punkt $O$. Punktist $A$ paremal asuvate punktide koordinaadid loeme positiivseiks ja vasakul paiknevate punktide koordinaadid negatiivseiks. Seega on esimese auto asukoht määratud koordinaadiga $x_1=OB$. Joonisel 3 on mõõtkava valitud nii, et $x_1=1200m$. Teise auto koordinaadiks on arv $400$. Et see auto asub koordinaatide alguspunktist vasakul, siis tema koordinaat on negatiivne: $x_2=-400m$.

Seega keha asukoht joonisel on määratud üheainsa koordinaadiga.

Kui keha võib liikuda mingil tasandil (näiteks paat järvel), siis kujutatakse mingist taustkehal valitud punktist kaks koordinaattelge: $OX$ ja $OY$. Keha asukoht tasapinnal on määratud kahe koordinaadiga: $x$ ja $y$. Näiteks punkti $A$ (joon. 4) koordinaadid on $x=3$ ja $y=4$, punkti $В$ koordinaadid aga $x=2$ ja $y=-1,5$.

Joon. 4.	Joon. 5.

Et määrata keha asukohta ruumis (näiteks lennuki asukohta õhus), tuleb kujutada läbi taustkeha mingi punkti kolm üksteisega ristuvat koordinaattelge: $OY$ ja $OZ$ (joon. 5). Keha (punkti) asukoht ruumis on sel juhul määratud kolme koordinaadiga: $x$, $у$ ja $z$.

Just niisugust koordinaadistikku kasutatigi selle paragrahvi algul nimetatud dokumendis aarde asukoha määramiseks. Aarde leidmiseks tuleb teada veel koordinaatide alguspunkti.

Niisiis, punkti asukoht joonel, tasapinnal ja ruumis on määratud vastavalt ühe, kahe või kolme koordinaadiga. Me elame kolmemõõtmelises ruumis.

Edaspidi puutume kokku liikumistega mingil joonel või tasapinnal. Seetõttu tuleb meil kasutada kas ühte või kahte koordinaati.

Meil oli juba juttu, et mehaanikateadus uurib, kuidas määrata keha asukohta suvalisel ajahetkel. Et keha asukoht on määratud tema punktide koordinaatidega, siis võime öelda, et mehaanika põhiülesandeks on osata arvutada keha punktide koordinaate suvalisel ajahetkel.

Taustkeha, sellega seotud koordinaadistik ja aja arvestamiseks valitud alghetk moodustavad taustsüsteemi, mille suhtes keha liikumist vaadeldakse.

Keha liikumisel tema koordinaadid muutuvad. Kui näiteks keha koordinaat oli alghetkel $x_0$ ja $t$ sekundi pärast $x$, siis koordinaadi muut on $x-x_0$.

Mehaanika põhiülesande lahendamiseks tuleb teada, kuidas muutuvad keha koordinaadid aja jooksul. Kuidas seda teada saada? Millised andmed meil peavad selleks olema? Mida peame eelnevalt teadma?

Mehaanika osa, mis annab vastuse nendele küsimustele, nimetatakse kinemaatikaks. Kinemaatikas tutvume mitmesuguste liikumise liikidega ning vaatleme, kuidas erinevatel juhtudel määrata keha asukohta suvalisel ajahetkel.

Kui keha (punktmass) liigub ühtlaselt mingit antud joont mööda, siis võib tema asukoha mis tähes ajahetkel leida üsna lihtsalt. VI klassi kursusest teame, et läbitud tee pikkuse $l$ arvutamiseks tuleb keha kiirus $v$ korrutada tee läbimiseks kulunud ajaga $t$.

Kui on teada keha asukoht alghetkel, siis võime leida ka keha asukoha ajahetkel $t$. Selleks tuleb mõõta alates algasukohast keha poolt mööda joont läbitud tee $l$.

Kuid see ülesanne on lahendatav nii lihtsalt ainult siis, kui on teada joon, mida mööda keha liigub. Seda joont nimetatakse trajektooriks. Rongi liikumise trajektooriks on raudtee, auto liikumise trajektooriks maantee jne.

Neil juhtudel, kui liikumise trajektoor pole antud, ei saa keha asukohta (s. t. tema koordinaate) liikumise lõpul määrata isegi siis, kui keha algasukoht ja teepikkus on teada. Kui me teame näiteks laeva algasukohta ja läbitud teed, siis ei oska me selle põhjal veel öelda, kus laev oma teekonna lõpul asub: selle tee võib ta läbida ükskõik millises suunas, mis tahes trajektoori mööda.

Et ka sel juhul keha asukohta leida, tuleb teada mitte läbitud tee pikkust, vaid hoopis teist suurust — keha nihet. Mida see suurus endast kujutab?

Kujutleme, et liikuv keha on mingil ajahetkel punktis $M_1$ (joon. 6) ja teatud aja pärast mingis teises, sellest kaugusel $s$ asuvas punktis. Kuidas leida keha uut asukohta? Selleks ei piisa ilmselt kauguse $s$ teadmisest, sest on olemas lõpmatult suur hulk punkte, mis asuvad punktist $M_1$ sellisel kaugusel (joon. 6).

Joon. 6.	Joon. 7.

Et leida keha lõppasukohta, tuleb teada veel keha algasukohta lõppasukohaga ühendava lõigu $s$ suunda. Seda suunatud sirglõiku nimetataksegi keha nihkeks. Nihet kujutava sirglõigu lõpp tähistatakse näitlikkuse mõttes nooleteravikuga (joon. 7, a). Kui paigutada sirglõik nii, et selle algus asub punktis $M_1$, siis näitab noole lõpp keha uut asukohta ${М}_2$ (joon. 7, b).

Keha (punktmassi) nihkeks nimetatakse suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga.

VII klassi matemaatika kursusest on teada, et punkti nihe määrab vektori mida nimetatakse nihkevektoriks. Vektoriaalseid suurusi tähistatakse tähtedega mille kohal on nool: näiteks $\overrightarrow{s}$ on nihkevektori tähis. Nihkevektori moodul ehk pikkus on arv, mis näitab, mitme pikkusühikuga (meetriga kilomeetriga jne.) võrdub nihe. Vektori mooduli tähistamiseks kasutame vektori enda tähist asetades selle kahe püstkriipsu vahele. Samuti võib kasutada lihtsustatud tahistusviisi, mille kohaselt mooduli tähiseks on vektori tähis nooleta Seega on nihkevektori $\overrightarrow{s}$ mooduli tähiseks kas $|\overrightarrow{s}|$ või $s$. Vektor on määratud mooduli ja suunaga.

Seega, leidmaks keha asukohta suvalisel ajahetkel, tuleb teada tema algasukohta ja selleks hetkeks sooritatud nihet.

Keha nihet tuleb eristada keha liikumise trajektoorist. Sellest, et keha liikus punktist $M_1$ punkti $M_2$ (joon. 8) ja et nihke pikkus on $M_1{M}_2$, ei järeldu veel sugugi, et keha liikus mööda sirglõiku $M_1{M}_2$. Keha liikumise trajektoor s.o. joon, mida mööda keha tegelikult liigub, ei tarvitse ühtida selle sirglõiguga. Selgitame seda näite varal.

Joon. 8.	Joon. 9.

Joonisel 9 on kujutatud Musta mere piirkonna geograafiline kaart. Odessa ja Sevastoopoli vaheline kaugus on $270km$. Seega tuleb Odessast Sevastoopolisse pääsemiseks sooritada ligikaudu kagusse suunatud $270km$ pikkune nihe. Kui me teeme selle reisi laevaga, võime tõepoolest liikuda nihkega ühtivat sirglõiku mööda. Kuid Odessast Sevastoopolisse võib sõita ka rongiga. Raudteeliin läbib Nikolajevit, Hersonit ja Džankoid. Selle tee pikkus on $660km$. Raudteed mööda sõitmisel ei ühti trajektoor enam nihkega.

Oletame, et meid huvitab ainult rongi lõppasukoht. See on määratud nihkega Odessa—Sevastoopol. Kui me teame, et nihe on toimunud kagusse ja selle pikkus on $270km$, siis me võime leida ka rongi lõppasukoha. Kui aga meile öeldakse, et rong läbib tee pikkusega $660km$, siis selle põhjal ei saa me veel otsustada, kus rong asub: Odessast võis ju rong sõita Moskva, Kiievi, Harkovi või mõne teise linna suunas.

Kui on teada keha nihkevektor $\overrightarrow{s}$ (keha vaadeldakse siin punktmassina) ja antud keha algasukoha koordinaadid, siis võib leida ka lõppasukoha koordinaadid. Vaatleme, kuidas seda teha, kui keha liigub tasapinnal.

Kujutame koordinaadistiku $XOY$ (joon. 10). Keha algasukoht $M_0$ on määratud koordinaatidega $x_0$ ja $y_0$. Kujutame nihkevektori $\overrightarrow{s}$ nii, et selle algus on punktis $M_0$. Keha lõppasukoha (punkti $M$) koordinaadid leiame järgmiselt.

Tõmbame vektori s alguspunktist $M_0$ ja lõpp-punktist $M$ ristsirged x-teljele ($M{N}_0$ ja $MN$) ning y-teljele ($M_0{L}_0$ ja $ML$). Punktid $N_0$ ja $N$ on vastavalt punktide $M_0$ ja $M$ projektsioonid x-teljel ning punktid $L_0$ ja $L$ nende projektsioonid y-teljel.

Jooniselt 10 nähtub, et punkti $M$ koordinaadi $x$ leidmiseks tuleb vektori s alguspunkti koordinaadile $x_0$ liita lõigu $N_{0}N$ pikkus:

$x=x_0+N_{0}N$.

Nihkevektor võib olla suunatud ka teisiti. Jooniselt 11 nähtub, et nüüd võrdub vektori $\overrightarrow{s}$ lõpp-punkti koordinaat $x$ koordinaadi $x_0$ ja lõigu $N_{0}N$ pikkuse vahega:

$x=x_0-N_{0}N$.

Vektori alguse ja lõpu projektsioonide vahelise lõigu pikkust x-teljel, võetuna pluss- või miinusmärgiga, nimetatakse vektori $\overrightarrow{s}$ projektsiooniks x-teljel.

Projektsioon loetakse positiivseks, kui vektori alguspunkti projektsioonist lõpp-punkti projektsiooni tuleb liikuda x-telje suunas; vastupidisel juhul on vektori projektsioon negatiivne.

Joonisel 10 kujutatud juhul on vektori $\overrightarrow{s}$ projektsioon x-teljel positiivne ning võrdub $N_{0}N$. Joonisel 11 kujutatud juhul on see aga negatiivne ning võrdub $-N_{0}N$. Seega kõikidel juhtudel tuleb koordinaadi $x$ leidmiseks liita algkoordinaadile $x_0$ vektori $\overrightarrow{s}$ projektsioon x-teljel.

Joon. 10.	Joon. 11.

Vektori projektsiooni koordinaatteljel tähistatakse sama tähega nagu vektorit ennastki, kuid jäetakse ära nool selle kohalt ning lisatakse indeks $x$ või $y$, sõltuvalt sellest, kummale teljele on vektor projekteeritud: $s_x$ on vektori $\overrightarrow{s}$ projektsioon x-teljel ja $s_y$ vastavalt y-teljel.

Kasutades neid tähiseid, võime keha koordinaadi x valemi kirjutada kujul:

$x=X_0+s_x$.

Samuti võime kirjutada:

$y=y_0-s_{у}$.

Valemitest (1) ja (2) ning joonistelt 10 ja 11 nähtub, et nihkevektori projektsioonid x- ja y-teljel võrduvad punkti koordinaatide vahega:

$s_x=x-x_0$

$s_y=y-y_0$.

Mingi suuruse lõpp- ja algväärtuse vahet nimetatakse selle s u u r u s e muuduks. Seega nihkevektori projektsioon x- ja y-teljel võrdub keha vastava koordinaadi muuduga. Kui keha koordinaat aja jooksul suureneb, siis koordinaadi muut ja seega ka vektori projektsioon koordinaatteljel on positiivsed. Kui aga koordinaat väheneb, siis tema muut ja nihkevektori projektsioon on negatiivsed.

Joonisel 10 on kujutatud selline keha nihe, mille puhul keha mõlemad koordinaadid $x$ ja $у$ liikumisel suurenevad. Seetõttu on vektori $\overrightarrow{s}$ mõlemad projektsioonid $s_x$ ja $s_{у}$ positiivsed. Joonisel 11 kujutatud juhul liikuva keha koordinaat $x$ väheneb, koordinaat $у$ aga suureneb; seega on $s_x$ negatiivne ja $s_y$ positiivne.

Kui nihkevektor on paralleelne ühega koordinaattelgedest või asub sellel, siis vektori projektsiooni absoluutväärtus võrdub vektori enda absoluutväärtusega. Projektsiooni märk määratakse sel juhul väga lihtsalt: vektori projektsioon on positiivne, kui vektori suund ühtib telje suunaga (joon. 12); projektsioon on negatiivne, kui vektori suund on telje suunale vastupidine (joon. 13). Vaadeldud vektori projektsioon y- ja z-teljel võrdub nulliga. Niisugusel liikumisel muutub ainult üks koordinaat.

Joon. 12.	Joon. 13.

Kõik see, millest oli juttu nihkevektori ja tema projektsioonide kohta, on rakendatav ka igale teisele vektorile. Tuleb ainult silmas pidada, et projektsiooni pikkus oleks väljendatud nendessamades ühikutes ja samas mõõtkavas, milles vektor ise on väljendatud.

Nihe on eriline suurus. Eriline sellepärast, et nagu iga teinegi vektor on ta määratud mitte ainult mingi arvu, vaid ka suunaga. Selliseid suurusi on füüsikas palju. Vektoriaalseid suurusi kujutatakse teatavasti suunanud sirglõiguna (noolena), nagu see on näidatud joonistel 7, a ja 7, b. Lõigu pikkus kokkulepitud , mõõtkavas väljendab vektoriaalse suuruse absoluutväärtust ehk moodulit, lõigu suund aga selle suunda.

Kaks vektorit loetakse võrdseteks siis, kui nende moodulid on võrdsed ja kui nende suunad ühtivad.

Suurusi, millel puudub ruumis suund, s. o. arve (sealhulgas ka nimetustega arve), nimetatakse skalaarseteks suurusteks ehk lihtsalt skalaarideks. Skalaarsete suuruste hulka kuuluvad näiteks aeg, ruumala temperatuur jne. Matemaatika kursusest on teada, et tehted vektoritega sooritatakse eriliste reeglite järgi, mis ei sarnane tavaliste arvudega sooritatavate tehete reeglitele. Tuletame meelde need reeglid.

1. Vektorite liitmine. Vektoreid liidetakse geomeetriliselt. Et liita kahte vektorit a ja b, tuleb paigutada nad nii, et nende algused ühtivad (joon. 15). Seejärel konstrueeritakse rööpkülik, mille külgedeks on need kaks vektorit ja tõmmatakse liidetavate vektorite alguspunktist rööpkülikule diagonaal. Saadud diagonaal ongi vektorite summa ehk resultantvektor.

On olemas veel teine viis kahe vektori liitmiseks. Liidetavad vektorid $\overrightarrow{a}$ ja $\overrightarrow{b}$ paigutatakse nii, et esimese vektori lõpp ühtib teise algusega. Vektor, mis ühendab esimese vektori algust teise lõpuga, ongi nende kahe vektori summa (joon. 16, a ja b). Seda viisi kasutatakse ka enam kui kahe vektori liitmiseks. Liidetavad vektorid asetatakse nii, et esimese vektori lõpp ühtib teise algusega, teise lõpp kolmanda algusega jne. Resultantvektoriks on vektor, mis ühendab esimese liidetava algust viimase lõpuga (joon. 17).

Selle reegli järgi liidetakse ka samasihilisi, nn. kollineaarseid vektoreid. Samasuunaliste kollineaarsete vektorite liitmine on näidatud joonisel 18, vastassuunaliste vektorite liitmine joonisel 19. Nendelt joonistel nähtub, et kollineaarseid vektoreid liidetakse nii, nagu oleksid need algebralised suurused. Selleks tuleb üks suundadest lugeda positiivseks ja teine negatiivseks.

Kuidas leida mitme vektori summa projektsiooni? Joonisel 20 on kujutatud vektorid $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ja $\overrightarrow{c}$ ning resultantvektor $\overrightarrow{f}$.

$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Jooniselt näeme, et vektorite $\overrightarrow{a}$ ja $\overrightarrow{b}$ projektsioonid x-teljel on positiivsed ja vektori $\overrightarrow{c}$ projektsioon negatiivne. Samuti näeme, et resultantvektor $\overrightarrow{f}$ projektsiooni leidmiseks tuleb kõigi kolme liidetava vektori projektsioonid algebraliselt liita, s.t. tuleb arvestada, et vektori c projektsioon on negatiivne. Vektorite sumina projektsioon võrdub liidetavate vektorite projektsioonide summaga. Seega ei pea vektorite summa projektsiooni leidmiseks tingimata leidma resultantvektorit. Selleks tuleb lihtsalt kõikide vektorite projektsioonid liita, arvestades nende märke.

2. Vektorite lahutamine. Et leida kahe vektori $\overrightarrow{a}$ ja $\overrightarrow{b}$ vahet $\overrightarrow{c}$, tuleb vektorile $\overrightarrow{a}$ liita vektor $-\overrightarrow{b}$ (joon. 21):

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

Vektor $-\overrightarrow{b}$ on vektori $\overrightarrow{b}$ vastandvektor: ta on moodulilt viimasega võrdne, kuid suunalt vastupidine.

Sama reegli põhjal lahutatakse ka kollineaarseid vektoreid (joon. 22, a ja b).

Joon. 21.	Joon. 22.

Kui meil on vaja leida kahe vektori $\overrightarrow{a}$ ja $\overrightarrow{b}$ vahe projektsiooni, siis, samuti nagu vektorite summa projektsiooni leidmiselgi, ei tarvitse me teha mingit geomeetrilist konstruktsiooni. On kerge veenduda, et vektorite vahe projektsioon võrdub nende vektorite projektsioonide algebralise vahega.

3. Vektori korrutamine skalaariga. Vektori $\overrightarrow{a}$ ja skalaari $k$ korrutis on vektor, mille moodul võrdub vektori mooduli ja skalaari mooduli korrutisega:

$|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot |\overrightarrow{a}|$

Kui $k$ on positiivne arv, siis vektori ka suund ühtib vektori $\overrightarrow{a}$ suunaga. Kui aga $k$ on negatiivne arv, siis vektori ka suund on vektori $\overrightarrow{a}$ suunale vastupidine.

Vektori $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$ projektsioon võrdub $k$ ja vektori $\overrightarrow{a}$ projektsiooni korrutisega:

$b_x=k{a}_x$.

Seega tehted vektoritega sooritatakse geomeetria reeglite põhjal. Tehted vektorite projektsioonidega alluvad aga tavalistele algebra reeglitele.

Kui on teada vektori a projektsioonid koordinaattelgedel $a_x$ ja $a_y$ (joon. 23), siis võime vektori mooduli leida Pythagorase teoreemi põhjal:

$a=\sqrt{a_x^2-a_y^2}$.

Keha asukoha leidmiseks mingil ajahetkel tuleb teada nihkevektorit, sest just nihe on seotud liikuva keha koordinaatidega: punkti nihkevektori projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad selle punkti koordinaatide muutudega.

Kuidas leida nihkevektorit? Mida tuleb selleks teada?

Vastus nendele küsimustele sõltub sellest, millise liikumisega meil on tegemist. Vaatleme algul kõige lihtsamat liikumise liiki — ühtlast sirgjoonelist liikumist.

Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist, mille puhul keha sooritab mis tahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed nihked.

Kui keha liigub ühtlaselt ühes ja samas suunas mööda mingit sirget, siis tema nihe kogu aeg kasvab. Selleks et leida keha nihet mingi aja t pärast, tuleb teada, kui kiiresti see kasvab. Nihke kasvamise kiirus aga on määratud nihke ja selleks kulunud ajavahemiku $t$ suhtega. Seda suhet nimetatakse liikumise kiiruseks ja tähistatakse tähega $v$.

Et nihe on vektoriaalne suurus, aeg aga on skalaar, siis kiirus on samuti vektoriaalne suurus:

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{s}}{t}$

Keha ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruseks nimetatakse suurust, mis võrdub keha nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajavahemiku suhtega.*

Seega näitab kiirus, millise nihke teeb keha ühes ajaühikus.

Keha nihke leidmiseks tuleb järelikult teada keha kiirust $\overrightarrow{v}$. Nihke võib sel juhul arvutada valemist:

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v}t$.

Vektorkujul kirjutatud valemite järgi ei ole võimalik teha arvutusi. On ju vektoriaalsel suurusel mitte ainult arvväärtus, vaid ka suund. Arvutustes on otstarbekas kasutada valemeid, milles ei esine vektorid, vaid nende projektsioonid koordinaattelgedel, sest projektsioonidega võib sooritada algebralisi tehteid.

Keha sirgjoonelisel liikumisel on trajektooriks sirge. Seetõttu on suunata koordinaattelg piki seda sirget, mida mööda keha liigub. Sel juhul muutub ainult üks koordinaatidest; kui valitud telje nimetame x-teljeks, siis ainult koordinaat $x$. Selle telje sihilised on ka nihkevektor ja kiirusvektor.

Et vektorid $\overrightarrow{s}$ ja $\overrightarrow{v}t$ on võrdsed, siis on võrdsed ka nende projektsioonid x-teljel, s. t.

$s_x=v_{x}t$

Valisime x-telje nii, et see ühtib selle sirgega, mida mööda keha liigub.

Selle seose põhjal saame leida keha koordinaadid mis tahes ajahetkel. Teame (vt. § 4), et

$x=x_0+s_x$ .

Seega

$x=x_0+v_{x}t$

Tuleb silmas pidada, et valemis (4) on $v_x$ kiirusvektori projektsioon. Vektori projektsioon võib olla positiivne või negatiivne. Kui kiirusvektori $\overrightarrow{v}$ suund ühtib x-telje suunaga (joon. 24, a), siis on tema projektsioon positiivne. Kui aga kiirusvektori suund on x-telje suunale vastupidine (joon. 24, b), siis on tema projektsioon negatiivne. Keha algasukoha koordinaat võib olla nii positiivne kui ka negatiivne: keha võib alghetkel asuda kas ühel või teisel pool koordinaatide alguspunkti.

Valemi (4) põhjal võime leida ühtlaselt sirgjooneliselt liikuva keha (punktmassi) asukoha suvalisel ajahetkel. Selleks tuleb teada keha (punkti) algkoordinaati $x_0$ ja kiirusvektori projektsiooni teljel, mida mööda keha liigub. See valem näitab, milline mõte on suurusel kiirus.

Kui keha liigub x-telje sihis, siis kiirusvektori projektsioon sellel teljel on $\frac{x-x_0}{t}$ Kuid $x-x_0$ on koordinaadi muut ja t ajavahemik, mille vältel see muut toimus. Seega ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel võrdub kiiruse projektsioon koordinaatteljel ajaühikus toimunud keha koordinaadi muuduga. Võib öelda et kiirus näitab koordinaadi muutumise kiirust.

Kui keha liigub telje sihis, võib kiiruse projektsiooni järgi leida ka kiirusvektori enda. Nende absoluutväärtused on ju võrdsed ja projektsiooni märk määrab ära kiirusvektori suuna. Seetõttu nimetame lühiduse mõttes keha kiiruse projektsiooni kiirusvektori suunas võetud teljel sageli lihtsalt keha kiiruseks. Samal põhjusel nimetatakse ka nihkevektori projektsiooni nihkeks.

Olgu veel kord rõhutatud, et mehaanika ülesannete lahendamisel tuleb teada kiirusvektorit, mitte aga selle moodulit. Auto spidomeeter näitabki kiiruse moodulit. Spidomeetri näidu järgi ei saa määrata ei auto liikumise suunda ega tema asukohta suvalisel hetkel.

Teel liikusid teineteise poole kaks autot — üks kiirusega $60\frac{km}{h}$ ja teine kiirusega $90\frac{km}{h}$. Bensiinijaamas autod kohtusid ja jätkasid seejärel oma teekonda (joon. 25). Määrata autode asukoht ja nendevaheline kaugus $30$ minutit pärast kohtumist.

Lahendus

Loeme bensiinijaama koordinaatide alguspunktiks ja kohtumise hetke alghetkeks. Koordinaattelje (x-telje) suuname vasakult paremale. Autode koordinaadid $0,5$ tundi pärast kohtumist võime arvutada järgmiste valemite põhjal:

$x_1=x_{01}+v_{1x}t$, $x_2=x_{02}+v_{2x}t$.

Et mõlemate autode algkoordinaadid võrduvad nulliga, siis

$x_1=v_{1x}t$, $x_2=v_{2x}t$

Esimese auto kiirusvektori projektsioon on positiivne, sest kiirusvektor on samasuunaline x-teljega. See võrdub $+60\frac{km}{h}$. Teine auto liigub x-teljele vastupidises suunas. Seetõttu on tema kiirusvektori projektsioon negatiivne, seega $-90\frac{km}{h}$.

Järelikult

$x_1=60\frac{km}{h}-0,5h=30km$, $x_2=-90\frac{km}{h}-0,5h=-45km$.

Autodevaheline kaugus $l$ võrdub nende koordinaatide vahega:

$l=x_1-x_2=30km-(-45km)=75km$.

Kaks autot sõidavad teede ristmiku poole. Teatud ajahetkel on kiirusega $v_1=40\frac{km}{h}$ liikuv esimene auto ristmikust $400m$ kaugusel. Teine auto on sel hetkel ristmikust $400m$ kaugusel. Millise kiirusega liigub teine auto, kui mõlemad autod jõuavad ristmikule üheaegselt?

Kaks autot sõidavad teede ristmiku poole. Teatud ajahetkel on kiirusega $v_1=40\frac{km}{h}$ liikuv esimene auto ristmikust $400m$ kaugusel. Teine auto on sel hetkel ristmikust $400m$ kaugusel. Millise kiirusega liigub teine auto, kui mõlemad autod jõuavad ristmikule üheaegselt?

Lahendus

Valime koordinaatide alguspunktiks teede ristmiku ja suuname koordinaatteljed piki teid (joon. 26). Esimene auto liigub X-eer teine y-telje sihis. Esimese auto liikumisel muutub koordinaatidest ainult $x$:

$x=x_0+v_{1x}t$,

teise auto liikumisel muutub ainult $y$:

$y=y_0+v_{2y}t$

Autode kohtumise hetkel, mil $t=t_0$, võrduvad koordinaadid nulliga:

$0=x_0+v_{1x}t$,

$0=y_0+v_{2y}t$.

Leiame esimesest võrrandist $t_0$:

$t_0=-\frac{x_0}{v_{1x}}$

ja asetame selle teise võrrandisse. Saame:

$0=y_0+-\frac{v_{2y}}{v_{1x}}{x}_0$

Siit järeldub:

$v_{2y}=-\frac{y_0}{x_0}{v}_{1x}$

Esimese auto algkoordinaat on negatiivne: $x_0=-400m$, kiiruse projektsioon aga positiivne: $v_{1x}=+40\frac{km}{h}$. Teise auto algkoordinaat ${у}_0$ on positiivne ning võrdub $+700m$. Seega

$v_{2y}=-40\frac{km}{h}\cdot \frac{700m}{400m}=-70\frac{km}{h}$

Miinusmärk näitab, et teine auto liigub y-teljele vastassuunas.

Suurema näitlikkuse saavutamiseks võib liikumist kirjeldada graafikute abil. Kui horisontaalteljele (abstsissteljele) kanda kindlas mõõtkavas aeg ja vertikaalteljele (ordinaatteljele), samuti mingis mõõtkavas, keha koordinaadi väärtused, siis saadud graafik väljendab keha koordinaadi sõltuvust ajast. Seda graafikut nimetatakse liikumisgraafikuks.

Liikugu keha näiteks mööda x-telge (joon. 27). See tähendab, et muutub ainult keha koordinaat $x$. Ajahetkil $t=0$, $t_1=10s$, $t_2=20s$, $t_3=30s$ jne. on keha punktides, mille koordinaadid on vastavalt $x_0=3m$ (punkt A), $x_1=4m$, $x_2=5m$ jne.

Keha liikumisgraafiku saamiseks kanname $x$ väärtused vertikaalteljele ja t väärtused horisontaalteljele. Liikumisgraafikuks on joonisel 28 kujutatud sirge. Seega koordinaat sõltub ajast lineaarselt.

Joon. 27.	Joon. 28.

Liikumisgraafikut (joon. 28) ei tohi ära vahetada keha liikumise trajektooriga — sirgega, mille kõiki punkte keha liikumise vältel läbib (joon. 27).

Keha sirgjoonelisel liikumisel saab liikumisgraafiku põhjal täielikult lahendada mehaanika põhiülesande, sest graafiku järgi võib leida keha asukoha igal ajahetkel, kaasa arvatud ka aja registreerimise algusele eelnenud hetked (kui oletada, et keha liikus sel ajal sama kiirusega). Pikendades joonisel 28 kujutatud graafikut aja negatiivsete väärtuste poole, võime näiteks leida, et keha koordinaat oli $30$ sekundit enne punkti $A$ jõudmist null ($x=0$).

Liikumisgraafiku põhjal võib otsustada ka keha liikumise kiiruse üle. Mida suurem on kiirus, seda suurema tõusuga on graafik, s. o. seda suurem on nurk graafiku ja ajatelje vahel. Mida suurem on nimetatud nurk, seda enam muutub koordinaat ühe ja sama aja jooksul.

Joonisel 29 on kujutatud mitu erineva kiirusega kulgliikumise graafikut. Graafikud 1, 2 ja 3 näitavad, et kehad liiguvad mööda x-telge positiivses suunas. Keha, mille liikumisgraafikuks on sirge 4, liigub aga vastupidises suunas Graafikutelt võime leida liikuva keha nihked mis tahes ajavahemikes.

Jooniselt 29 nähtub, et kolmas keha sooritas esimese sekundi lõpust kurn viienda sekundi alguseni positiivses suunas 2 m pikkuse nihke, neljas keha aga sama ajavahemiku jooksul negatiivses suunas 4 m pikkuse nihke.

Joon. 29.	Joon. 30.

Liikumisgraafikute kõrval kasutatakse sageli ka kiiruse graafikuid. Nende joonestamiseks kanname ordinaatteljele keha kiiruse projektsioonide väärtused, abstsissteljele aga endiselt aja väärtused. Selline graafik näitab, kuidas muutub kiirus aja jooksul, s. o. kiiruse sõltuvust ajast. Ühtlase sirgjoonelise liikumise puhul seisneb see «sõltuvus» selles, et kiirus jääb kogu aeg muutumatuks. Kiiruse graafikuks on ajateljega paralleelne sirge (joon. 30). Graafik I vastab liikumisele x-felje positiivses suunas. Graafik II kirjeldab aja liikumist vastupidises suunas (sest kiiruse projektsioon on negatiivne).

Kiiruse graafiku järgi võib teada saada ka mingis ajavahemikus toimunud nihke moodulit. Arvuliselt võrdub see viirutatud ristküliku pindalaga (joon. 31). Kui keha liigub positiivses suunas, siis paikneb ristkülik ülalpool x-telge. Kui aga keha liigub negatiivses suunas, asub ristkülik allpool x-telge. Tõepoolest, ristküliku pindala võrdub ju külgede pikkuste korrutisega. Kuid üks külgedest võrdub arvuliselt ajaga $t$ ja teine kiirusega $v$. Nende korrutis aga võrdubki nihke absoluutväärtusega.

Paragrahvis 2 nägime, et keha (punkti) asukohta ruumis võib määrata ainult mingi teise keha — taustkeha — suhtes. Läbi taustkeha mingi punkti tõmmatakse koordinaatteljed. Sel juhul öeldakse, et selle taustkehaga on seotud koordinaadistik.

Taustkehaks võime valida ükskõik millise keha ja igaühega neist siduda oma koordinaadistiku. Sel juhul võime ühe ja sama keha asukohta üheaegselt vaadelda erinevais koordinaadistikes. On ilmne, et erinevate taustkehade suhtes (erinevais koordinaadistikes) võivad ühel ja samal kehal olla täiesti erinevad koordinaadid. Näiteks auto asukoht on määratud, kui on teada, et see paikneb asulast A lõigu $l_1$ võrra põhja pool (joon. 32). Samal ajal võime öelda, et auto paikneb punktist В lõigu $l_2$ võrra ida pool. Tähendab, keha asukoht on suhteline: see on erinevate taustkehade ja nendega seotud koordinaadistike suhtes erinev.

Kuid suhteline pole ainult keha asukoht, vaid ka +ema liikumine. Vaatleme milles seisab liikumise suhtelisus.

Laps, kes sattus esmakordselt jäämineku ajal jõe äärde, seisis kaldal ja küsis: «Millel me sõidame?». Ilmselt valis ta taustkehaks jões liikuva jääpanga. Laps oli kaldaga seotud taustsüsteemi suhtes paigal, kuid liikus koos kaldaga jääpangaga seotud taustsüsteemi suhtes.

Sageli juhtub, et ühe ja sama keha liikumist tuleb vaadelda erinevate taustkehade suhtes, mis ise üksteise suhtes liiguvad. Näiteks suurtükiväelane peab teadma mürsu liikumist mitte ainult Maa ja selle pinnal seisva kahuri suhtes, vaid ka maapinnal liikuva tanki suhtes, mida ta tulistab. Lendur huvitub lennuki liikumisest nii Maa kui ka õhu suhtes, mis tuulise ilmaga Maa suhtes liigub.

Ühe ja sama keha liikumine võib erinevate, üksteise suhtes liikuvate taust-süsteemide suhtes olla väga erinev. Erinevad võivad olla ka selle keha trajektoorid ja kiirused.

Vaatleme ühe ja sama keha liikumist kahe taustkeha suhtes, mis ise teineteise suhtes liiguvad. Lihtsuse mõttes oletame, et üks taustkeha on liikumatu ja et teine liigub selle suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Vaatleme järgmist lihtsat näidet. Ujuja ujub jões pärivoolu ning saavutab käte ja jalgadega töötades mingi jääva kiiruse (kui ta käte ja jalgadega ei töötaks, siis ta lihtsalt lamaks vees ja oleks selle suhtes paigal). Võtame liikumatuks taustkehaks kalda ja liikuvaks vee.

Kuidas liigub ujuja kalda suhtes ja vee suhtes? Kujutleme, et ujuja liikumist jälgivad kaks vaatlejat: üks neist seisab kaldal ja teine istub pärivoolu ujuvas sõudjate paadis. Vee suhtes on paat paigal, kalda suhtes aga liigub ühtlaselt niisama suure kiirusega nagu vesigi.

Kujutame mõtteliselt kaldaga seotud koordinaadistiku $XOY$ nii, et x-telje suund ühtib voolu suunaga (joon. 33). Paadiga (veega) seome teise koordinaadistiku $X^{\prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime }$, mille teljed olgu paralleelsed $XOY$ vastavate telgedega.

Leiame ujuja nihked nende kahe taustsüsteemi suhtes.

Paadis asuv vaatleja näeb, et aja $t$ jooksul sooritas ujuja tema suhtes nihke ${\overrightarrow{s}}_{!}$. Jagades selle nihke ajaga, saab ta ujuja liikumise kiiruse ${\overrightarrow{v}}_{!}$:

${\overrightarrow{v}}_1=\frac{{\overrightarrow{s}}_1}{t}$

(${\overrightarrow{v}}_1$ on ujuja kiirus vee suhtes, s. t. liikuva koordinaadistiku $X^{\prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime }$ suhtes).

Kaldal asuv vaatleja täheldab, et sama aja $t$ jooksul sooritas ujuja nihke $\overrightarrow{s}$, paat aga nihke ${\overrightarrow{s}}_2$. Jooniselt 33 nähtub, et ujuja nihe kalda suhtes, s. o. koordinaadistiku $XOY$ suhtes, võrdub kahe nihke summaga:

$\overrightarrow{s}={\overrightarrow{s}}_1+{\overrightarrow{s}}_2$.

Jagades nihke $\overrightarrow{s}$ ajaga $t$, saab kaldal asuv vaatleja ujuja kiiruse kalda suhtes:

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{s}}{t}=\frac{{\overrightarrow{s}}_1+{\overrightarrow{s}}_2}{t}=\frac{{\overrightarrow{s}}_1}{t}+\frac{{\overrightarrow{s}}_2}{t}$

Esimene liidetav $\frac{{\overrightarrow{s}}_1}{t}$ on siin ujuja kiirus liikuva koordinaadistiku (vee või paadi) suhtes. Teine liidetav $\frac{{\overrightarrow{s}}_2}{t}$ aga on paadi (vee) kiirus liikumatu koordinaadistiku (kalda) suhtes. Tähistame selle ${\overrightarrow{v}}_2$. Seega on${\overrightarrow{v}}_2$ liikuva koordinaadistiku kiirus paigaloleva suhtes.

Võime kirjutada:

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$.

Seda valemit nimetatakse kiiruste liitmise valemiks.

Täpselt sama valemi oleksime saanud ka sel juhul, kui ujuja oleks ujunud vastuvoolu (joon. 34).

Keha liikumise kiirus paigaloleva koordinaadistiku suhtes võrdub kahe kiiruse geomeetrilise summaga: üks liidetavaist on keha kiirus liikuva koordinaadistiku suhtes ja teine liikuva koordinaadistiku kiirus liikumatu koordinaadistiku suhtes.

Näeme, et keha kiirus on erinevates, üksteise suhtes liikuvates taustsüsteemides erinev. Selles seisnebki liikumise suhtelisus.

Vaadeldud juhul liikusid keha (ujuja) ja liikuv koordinaadistik (paat ja vesi) ühes ning samas suunas — piki koordinaadistiku $XOY$ x-telge. Seetõttu võime vektorite $\overrightarrow{v}$, ${\overrightarrow{v}}_1$ ja ${\overrightarrow{v}}_2$ asemel kasutada nende projektsioone x-teljel. Seega omandab kiiruste liitmise valem antud juhul kuju:

${\overrightarrow{v}}_x={\overrightarrow{v}}_{1x}+{\overrightarrow{v}}_{2x}$.

Suurused $v_x$, ${\overrightarrow{v}}_{1x}$ ja ${\overrightarrow{v}}_{2x}$ võivad selles valemis olla nii positiivsed kui ka negatiivsed, sõltuvalt vektorite $\overrightarrow{v}$, ${\overrightarrow{v}}_1$ ja ${\overrightarrow{v}}_2$ suunast x-telje suhtes.

Võib juhtuda ka nii, et keha liigub ühe koordinaadistiku suhtes, kuid teise suhtes on ta paigal. Kui näiteks ujuja lakkaks töötamast käte ja jalgadega ning lamaks lihtsalt vees, siis paadi suhtes oleks ta paigal, kuid kalda suhtes liiguks voolu kiirusega. Kui aga ujuja ujuks voolu kiirusega vastuvoolu, siis oleks ta kalda suhtes paigal, kuid vee suhtes liiguks kiirusega ${\overrightarrow{v}}_1=-{\overrightarrow{v}}_2$. Seega ei ole suhteline mitte ainult liikumine, vaid ka paigalolek. Kui keha on mingi koordinaadisfiku suhtes paigal, siis võib alati leida selliseid koordinaadistikke, mille suhtes ta liigub. Sellest järeldub, et absoluutselt paigalolevaid kehi ei ole olemas. Liikumine on omane kõikidele kehadele ja üldse kõigele, mis looduses eksisteerib, s. o. kogu materiaalsele maailmale.

Alati ei ole keha ja liikuva koordinaadistiku kiirused suunatud ühte ja sama sirget mööda, nagu eelmises paragrahvis vaadeldud näites.

Kujutleme, et ujuja ületab jõe, liikudes kogu aeg jõevooluga risti, s. o. risti x-teljega (joon. 35). Eeldame endiselt, et ujuja liigub ühtlaselt.

Milline on ujuja liikumine paadis asuva vaatleja (liikuva koordinaadistiku $X^{\prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime }$) suhtes ja milline kaldal seisva vaatleja (paigaloleva koordinaadistiku $XOY$) suhtes?

Paadis olev vaatleja näeb, et ujuja kogu aeg eemaldub temast ja liigub y'-telje sihis. Ta näeb seda punktis $A$, punktis $В$ ja igas teises punktis. Pärast ajavahemiku $t$ möödumist, kui paat on jõudnud punkti $C$, on ujuja jõudnud vastaskaldale punkti $C^{\prime }$ ning sooritanud nihke $\overrightarrow{s}=C{C}^{\prime }$ (vt. joon. 35). Jagades nihke $\overrightarrow{s}$ ajaga $t$, saame ujuja kiiruse liikuva koordinaadistiku $X^{\prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime }$ suhtes:

${\overrightarrow{v}}_1=\frac{{\overrightarrow{s}}_1}{t}$

Selle kiiruse suund ühtib y'-telje suunaga.

Hoopis teistsugusena näeb ujuja liikumist kaldal asuv vaatleja. Selle vaatleja suhtes liigub ka y'-telg. Temaga seotud koordinaadistikus on ujuja nihkeks aja $t$ vältel suunatud sirglõik $O^{\prime }{C}^{\prime }=\overrightarrow{s}$ ja paadi nihkeks sirglõik $OC={\overrightarrow{s}}_2$ (joon. 35). Ujuja on kandunud koos veega pärivoolu. Jooniselt 35 näeme, et nihe $\overrightarrow{s}$ võrdub nihete ${\overrightarrow{s}}_1$ ja ${\overrightarrow{s}}_2$ geomeetrilise summaga, kus ${\overrightarrow{s}}_1$ on ujuja nihe liikuva koordinaadistiku $X^{\prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime }$ suhtes ja ${\overrightarrow{s}}_2$ selle koordinaadistiku nihe koordinaadistiku $XOY$ suhtes. Seega võime ka nüüd, samuti nagu eelmises paragrahvis kirjutada:

$\overrightarrow{s}={\overrightarrow{s}}_1+{\overrightarrow{s}}_2$.

Ujuja kiiruse koordinaadistiku $XOY$ suhtes leiame järgmiselt:

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{s}}{t}=\frac{{\overrightarrow{s}}_1+{\overrightarrow{s}}_2}{t}=\frac{{\overrightarrow{s}}_1}{t}+\frac{{\overrightarrow{s}}_2}{t}$.

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$

Näeme, et kiiruste liitmise reegel jäi endiseks. Kuid antud juhul ei või kiirusi liita algebraliselt, sest vektorid ${\overrightarrow{v}}_1$ ja $\overrightarrow{v}2$ ei ole teineteisega paralleelsed.

Vaadeldud juhul ei ole erinevais koordinaadistikes erinevad mitte ainult ujuja kiirused, vaid ka trajektoorid. Paadis oleva vaatleja suhtes on ujuja trajektooriks voolu suunaga ristuv sirge, kaldal asuva vaatleja suhtes on aga sirge, mis moodustab voolu suunaga 90°-st erineva nurga. See on jällegi liikumise suhtelisuse ilminguks: erinevais, teineteise suhtes liikuvais koordinaadistikes on ka liikumise trajektoorid erinevad.

Ujuja ületab jõe ujudes risti kaldaga (mitte vooluga). Voolu kiirus on $2\frac{km}{h}$ ja jõe laius $100m$. Missugune on ujuja kiirus vee suhtes kui ta ületab jõe $4$ minutiga?

Ujuja ületab jõe ujudes risti kaldaga (mitte vooluga). Voolu kiirus on $2\frac{km}{h}$ ja jõe laius $100m$. Missugune on ujuja kiirus vee suhtes kui ta ületab jõe $4$ minutiga?

Lahendus

Ujuja kiirus kalda suhtes $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$, kus ${\overrightarrow{v}}_1$ on voolu kiirus ja ${\overrightarrow{v}}_2$ ujuja kiirus vee suhtes (joon. 36). Vektori $\overrightarrow{v}$ moodul võrdub:

$\frac{100}{4}\frac{m}{min}=25\frac{m}{min}=1,5\frac{km}{h}$

Jooniselt nähtub, et:

$v_1^2=v_1^2+v^2$

Järelikult:

$v_2=\sqrt{v_1^2+v^2}$;

$v_2=\sqrt{v_1^2+v^2}\frac{km}{h}=2,5\frac{km}{h}$.

Kõigest liikumise kohta öeldust ilmneb, et liikumise uurimiseks tuleb määrata vähemalt kaks suurust: nihe ja aeg.

Nihete pikkusi ja ajavahemikke väljendatakse mingite arvudega. Need arvud saadakse mõõtmise teel.

Suuruse mõõtmine tähendab mingil viisil selle võrdlemist teise sama liiki suurusega, mis on kokkuleppeliselt võetud mõõtühikuks.

Koolis võime näiteks mõõta koridori pikkust, võrreldes seda sammu pikkusega. Loendades, mitu sammu läheb koridori pikkusele, saame teada, mitu korda on koridori pikkus suurem sammu pikkusest. See arv (mitu korda?) väljendabki koridori pikkust sammudes.

Järelikult tuleb eelkõige valida mõõdetava suuruse ühik. Selle võib valida täiesti suvaliselt. Eri aegadel ja eri maades kasutati pikkuse mõõtmiseks erinevaid mõõtühikuid. Pikkusühikuteks olid sammu pikkus, labajala pikkus (jalg), kaugus pöidla otsast kuni keskmise sõrme otsani (vaks), kaugus, mille inimene käib ühe päevaga jne. Lugedes A. Gribojedovi komöödiat «Häda mõistuse pärast» järgmisi ridu:

«Ma keelaks sõita nendel härradel pealinnadele laskekaugussegi,»

mõistame, et komöödia tegelane Famussov kasutab pikkusühikuna suurtüki laskekaugust. Seda omapärast pikkusühikut armastasid vanasti kasutada sõjaväelased.

Tänapäeval on võetud kasutusele kõikide maade jaoks ühine pikkusühik — meeter (m).

1 meeter on plaatina ja iriidiumi sulamist valmistatud erilise kujuga vardale tõmmatud kahe kriipsu vaheline kaugus.

Seda varrast, nn. pikkuse etaloni, hoitakse alal Rahvusvahelises Mõõtude ja Kaalude Büroos Prantsusmaal. Teistes maades on olemas selle etaloni täpsed koopiad. Nende järgi ongi määratud laialdaselt kasutatavate meetriste mõõtejoonlaudade pikkus.

Peale põhiühiku — meetri — kasutatakse laialdaselt pikkusühikuid, mis on meetrist $10$, $100$, $1000$ jne. korda suuremad või väiksemad (näiteks kilomeeter, sentimeeter, millimeeter, mikromeeter).

Ka ajaühiku võib valida vabalt. Kuid aja etaloni ei saa muidugi valmistada mingi esemena nagu, näiteks meeterjoonlauda. Aja etaloniks võib valida mingi perioodiliselt korduva protsessi kestuse, kui see on rangelt konstantne. Tänapäeval on selliseks protsessiks valitud Maa liikumine ümber Päikese. Maa teeb ühe tiiru ümber Päikese ühe aastaga. Kuid aja põhiühikuks ei ole võetud aasta, vaid teatud osa sellest — sekund (s). $1\text{aasta}=31556925,9747\text{s}$ (jämedates arvutustes võime lugeda, et $1\text{aasta}=\pi \cdot {10}^7\text{s}$).

Igapäevases elus ja tehnikas kasutatakse sageli ka teisi ajaühikuid, näiteks minutit (min) ja tundi (h), 1 min = 60 s; 1 h = 3600 s.

Peale pikkuse ja aja oleme kohtunud veel ühe suurusega — kiirusega. Kas kiiruse jaoks on vaja valida eraldi ühikut?

Selleks puudub vajadus, sest kiirus on seotud pikkuse ja ajaga järgmise valemi kaudu:

$v=\frac{s}{t}$

Sellest valemist nähtub, et kui mingi keha teeb ühe sekundiga ühe meetri pikkuse nihke, siis keha kiirus võrdub ühikuga (1 m/s). Sellise liikumise kiiruse •• võib võtta kiirusühikuks.

Kiirusühikuks võetakse sellise ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus mille korral keha sooritab 1 sekundiga 1 m pikkuse nihke.

Eri ühikut ei võeta näiteks ka ruumala mõõtmiseks, sest keha ruumala sõltub tema .joonmõõtmetest ja seda võib väljendada kuupmeetrites. Millistel juhtudel sus tuleb valida eri mõõtühik, millistel mitte?

Kõikide füüsikaliste suuruste vahel valitsevad teatud sõltuvused, sest kõik loodusnähtused on omavahel seotud. Suuruste vahelisi sõltuvusi väljendavad matemaatiised valemid. Samad valemid seovad omavahel ka füüsikaliste suuruste mõõtühikuid. Seetõttu võib ühtede suuruste mõõtühikuid väljendada teiste suuruste mõõtühikute kaudu.

Võib võtta väikese arvu füüsikalisi suurusi (nn. põhisuurusi) ja valida neile suvaliselt mõõtühikud. Kõikide teiste suuruste (tuletatud suuruste) mõõtühikud võime saada valemitest, mis seovad neid suurusi põhisuurustega.

Sel teel saadud kõikide füüsikaliste suuruste ühikute kogumit nimetatakse mõõtühikute süsteemiks.

On olemas erinevaid mõõtühikute süsteeme. Nad sõltuvad põhisuuruste ja nende mõõtühikute valikust. Tänapäeval kasutatakse Rahvusvahelist Mõõtühikute Süsteemi (Sl-süsteemi). Selle aluseks on seitse põhisuurust, mille hulka kuuluvad ka pikkus ja aeg. Sl-süsteemis on pikkusühikuks meeter ja ajaühikuks sekund.

Kehade (punktmasside) mehaaniline liikumine seisneb selles, et keha asukoht ja seega ka tema koordinaadid muutuvad teiste kehade suhtes aja jooksul.

Keha koordinaadi leidmiseks suvalisel ajahetkel tuleb teada keha alqkoor_ dinaate ja mhkevektorit. Keha koordinaadi muut võrdub nihkevektori projektsiooniga koordinaatteljel.

Kõige lihteam liikumise liik on ühtlane sirgjooneline liikumine. Selle liikumise kirjeldamiseks piisab ainult ühest koordinaadisf, sest me võime koordi- naattelje suunaks valida, keha liikumise suuna. Keha (punktmassi) koordinaat $x$ suvalisel ajahetkel $t$ võib arvutada valemist:

$x=x_0+v_{x}t$

kus $x_0$ on keha algkoordinaat ja $v_x$ kiirusvektori projektsioon x-teliel. Selle valemi järgi arvutamisel määratakse selles erinevate suuruste märgid vastavalt ülesande tingimustele.

Iga liikumine on suhteline. See tähendab, et keha nihe ja kiirus on erinevates, üksteise suhtes liikuvates koordinaatsüsteemides erinevad.

Ka paigalseis on suhteline. Kui keha on mingi taustsüsteemi suhtes paigal sus on kindlasti olemas ka sellised taustsüsteemid, mille suhtes ta liigub.

Ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel sõltub nihe ajast lineaarselt ja on igal ajahetkel määratud valemiga s=vt. Kuid sellist liikumist esineb võrdlemisi harva. Palju sagedamini kohtame liikumisi, mille puhul keha nihked võrdseis ajavahemikes võivad olla erinevad. Nii liiguvad tavaliselt rongid, autod, lennukid jne. Sellisel liikumisel ei ole nihe võrdeline ajaga.

Liikumist, mille puhul keha nihked võrdseis ajavahemikes on erinevad, nimetatakse mitteühtlaseks liikumiseks.

Sel juhul ei saa nihet enam arvutada valemist s=vt. Selgitame nüüd, kuidas leida nihet mitteühtlasel liikumisel ja mida peab selleks teadma.

Mõnikord kasutatakse mitteühtlase liikumise iseloomustamiseks keskmise kiiruse mõistet.

Jagades nihke $\overrightarrow{s}$ selle sooritamiseks kulunud ajaga $t$, saamegi keskmise kiiruse:

${\overrightarrow{v}}_k=\frac{\overrightarrow{s}}{t}$.

Keskmine kiirus näitab, millise nihke teeb keha keskmiselt ühes ajaühikus.*

Kui näiteks rong läbib $10$ tunniga $600\text{km}$, siis keskmiselt läbib ta igas tunnis $60\text{km}$.

On ilmne, et teatud osa ajast rong üldse ei liikunud, vaid seisis jaamades. Jaamast väljumisel rongi kiirus suurenes, jaamale lähenemisel vähenes.

Kõike seda me ei võta keskmise kiiruse arvutamisel arvesse. Me arvestame, nagu läbiks rong iga tunniga $60\text{km}$, iga poole tunniga $30\text{km}$ jne. Kasutades valemit ${\overrightarrow{v}}_k=\frac{\overrightarrow{s}}{t}$ kujutleme, nagu liiguks rong ühtlaselt jääva kiirusega ${\overrightarrow{v}}_k$ ehkki kogu liikumise aja jooksul ei ole võib-olla ühtegi sellist tundi, milles rong läbis täpselt $60\text{km}$. Kuid teades keskmist kiirust, võime valemi

$\overrightarrow{s}={\overrightarrow{v}}_{k}t$

põhjal arvutada nihke.

Siin tuleb meeles pidada, et see valem annab õige tulemuse ainult trajektoori selle osa kohta, mille jaoks keskmine kiirus on arvutatud. Kui kasutada keskmise kiiruse väärtust $60\frac{km}{h}$ ja arvutada mitte $10$, vaid $2$, $4$ või $5$ tunni jooksul sooritatud nihe, siis saame ebaõige tulemuse. Selle põhjuseks on asjaolu, et keskmine kiirus $10$ tunni jooksul ei võrdu keskmise kiirusega $2$, $4$ või $5$ tunni jooksul.

Tegime katse taandada mitteühtlast liikumist ühtlasele ja võtsime sel eesmärgil kasutusele keskmise kiiruse mõiste. Kuid sellest ei olnud kasu: teades keskmist kiirust, ei saa me lahendada kõige tähtsamat mehaanika ülesannet_ määrata keha asukohta mis tahes ajahetkel. Kuid võib-olla saab mitteühtlast liikumist taandada ühtlasele mingil muul viisil?

Osutub, et see ei ole võimalik, sest mehaaniline liikumine on pidev protsess. Liikumise pidevus seisneb selles, et kui näiteks mingi kasvava kiirusega sirgjooneliselt liikuv keha (või punkt) läbis punkte $A$ ja $B$, siis peab ta tingimata läbima ka kõiki $A$ ja $В$ vahel asuvaid punkte, ilma et ühtegi neist vahele jääks. Kuid see ei ole veel kõik. Oletame, et keha liikus punktini $A$ ühtlase kiirusega $5\frac{m}{s}$ ja pärast punkti $В$ läbimist kiirusega $30\frac{m}{s}$. Lõigu $AB$ läbimiseks kulus $15$ sekundit. Seega teelõigul $AB$ muutus keha kiirus $15$ sekundiga $25\frac{m}{s}$ võrra. Et keha ei saanud oma liikumisel vahele jätta ühtegi trajektoori punkti, pidi tema kiirus omandama kõik väärtused vahemikus $5\frac{m}{s}$ kuni $30\frac{m}{s}$. Samuti ühegi väärtuse vahelejätmiseta! Selles seisnebki mehaanilise liikumise pidevus: keha koordinaat ja kiirus ei saa muutuda hüppeliselt. Siit võime teha väga tähtsa järelduse. Vahemikus $5\frac{m}{s}$ kuni $30\frac{m}{s}$ on olemas lõpmatu suur hulk kiiruste väärtusi. Kuid punktide $A$ ja $В$ vahel on lõpmatult palju punkte ja $15$-sekundiline ajavahemik, mille vältel keha punktist $A$ punkti $В$ liikus, koosneb lõpmatult suurest hulgast ajavahemikest (aeg kulgeb samuti hüpeteta). •

Seega oli kehal igas trajektoori punktis ja igal ajahetkel mingi kindel kiirus.

Kiirust, mida keha omab antud hetkel või antud trajektoori punktis, nimetatakse hetkkiiruseks.

Ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel võrdub keha kiirus nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajavahemiku suhtega. Mida tähendab kiirus antud punktis ehk kiirus antud hetkel?

Kujutleme, et mingi keha liigub sirgjooneliselt, kuid mitteühtlaselt (nagu alati, vaatleme tegelikult selle keha mingi punkti liikumist). Kuidas arvutada selle keha hetkkiirust trajektoori mingis punktis $A$? Valime trajektooril mingi lõigu $1$, kuhu kuulub ka punkt $A$ (joon. 37). Väikese nihke sellel lõigul tähistame ${\overrightarrow{s}}_1$, selleks nihkeks kulunud ajavahemikku aga $\Delta t_1$*. Jagades${\overrightarrow{s}}_1$ $\Delta t_1$-ga, saame keskmise kiiruse sel teeosal: kiirus muutub ju pidevalt ning on lõigu $1$ eri osades erinev.

Vähendame lõigu 1 pikkust. Valime uue lühema lõigu 2 (joon. 37), kuhu samuti kuulub punkt $A$. Sellel väiksemal trajektooriosal on nihe ${\overrightarrow{s}}_2$ ($s_2<s_1$) ning nihkeks kulunud ajavahemik $\Delta t_2$. On ilmne, et lõigu 2 ulatuses jõuab kiirus muutuda väiksema suuruse võrra. Kuid suhe annab meile ka nüüd ikkagi ainult keskmise kiiruse sellel väiksemal lõigul. Veelgi väiksem on kiiruse muut lõigul 3 (millel samuti asub punkt $A$), väiksem kui lõikudel 1 ja 2, ehkki suhe $\frac{{\overrightarrow{s}}_2}{\Delta t}$ ujutab jällegi ainult keskmist kiirust trajektoori sellel lõigul.

Vähendame järk-järgult ajavahemikku, mille vältel toimub nihe. Koos sellega väheneb ka nihe. Lõpuks kahaneb trajektoorilõik punktiks $A$ ja vastav ajavahemik taandub ajahetkeks. Selle tulemusena saab keskmisest kiirusest hetkkiirus, sest väga väikesel lõigul on kiiruse muut nii väike, et selle võib jätta arvestamata, s. t, võime lugeda, et kiirus ei muutu.

Hetkkiirus ehk kiirus antud punktis võrdub seda punkti sisaldava küllalt väikesele trajektoorilõigule vastava nihke ja selleks nihkeks kulunud väikese ajavahemiku suhtega.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus on üheaegselt nii hetkkiirus kui ka keskmine kiirus.

Hetkkiirus on vektoriaalne suurus. Selle suund ühtib nihke (liikumise) suunaga antud punktis. Rääkides edaspidi mitteühtlase liikumise kiirusest, mõistame selle all hetkkiirust.

Meenutame veel kord seda võtet, mille abil jõudsime hetkkiiruse mõisteni. Vähendasime mõtteliselt trajektoorilõiku ja selle läbimiseks kulunud aega seni, kuni lõiku ei saa enam eristada punktist, ajavahemikku hetkest ning mitteühtlast liikumist ühtlasest. Seda võtet kasutatakse alati niisuguste nähtuste uurimisel, kus esinevad pidevalt muutuvad suurused.

Püüame nüüd selgitada, mida meil tuleb teada, et leida keha kiirust trajektoori mis tahes punktis ehk mis tahes ajahetkel.

Mitteühtlasel liikumisel keha hetkkiirus muutub üleminekul ühest punktist teise ja ühelt ajahetkelt teisele. Kuidas siis arvutada keha hetkkiirust?

Nägime, et keha nihke arvutamiseks tuleb teada, kui kiiresti see muutub aja jooksul. Arvutamaks kiirust suvalisel ajahetkel peame samuti teadma, kui kiiresti ta muutub, s.o. peame teadma kiiruse muutu ühes ajaühikus.

Lihtsuse mõttes vaatleme niisugust mitteühtlast liikumist, mille puhul keha kiirus mis tahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdsete suuruste võrra. Niisugust liikumist nimetatakse ühtlaselt muutuvaks.

Liikumist, mille puhul keha kiirus mis tahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdsete suuruste võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks.

Kui alghetkel keha kiirus on ${\overrightarrow{v}}_0$ ja pärast ajavahemiku $t$ möödumist $\overrightarrow{v}$, siis kiiruse muut ühes ajaühikus on $\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{t}$. Suurus $\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{t}$ iseloomustab kiiruse muutumise kiirust. Seda suurust nimetatakse kiirenduseks.

Et kiirendus võrdub vektori$\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0$ ja skalaari $\frac{1}{t}$ korrutisega, siis on ta ise vektoriaalne suurus (vt. § 5). Kiirendust tähistatakse tähega $\overrightarrow{a}$:

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{t}$

Liikuva keha kiirenduseks nimetatakse suurust, mis võrdub kiiruse muudu ja sellele vastava ajavahemiku suhtega.

Kui keha kiirenduse absoluutväärtus on suur, siis see tähendab, et keha omandab kiiresti kiirust (kiireneval liikumisel) või kaotab seda kiiresti (pidurdamisel).*

Kui kiirendus a ja keha algkiirus ${\overrightarrow{v}}_0$ on teada, siis võime leida kiiruse mis tahes ajahetkel.

Tõepoolest, valemist (1) järeldub, et

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t$

Kiirendust ongi vaja teada kiiruse $\overrightarrow{v}$ arvutamiseks.

Vaatleme nüüd, milliste ühikutega kiirendust mõõdetakse.

Valemist $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{t}$ järeldub, et kiirenduse absoluutväärtus võrdub ühikuga siis, kui kiiruse muudu absoluutväärtus ja ajavahemik võrduvad ühikuga.

Kiirendusühikuks on võetud sellise ühtlaselt muutuva liikumise kiirendus, mille puhul kiirus muutub ühes ajaühikus ühe kiirusühiku võrra.

SI-süsteemis mõõdetakse kiirust meetrites sekundis ja aega sekundites. Seetõttu mõõdetakse kiirendust meetrites sekundi ruudu kohta ($\frac{m}{s^2}$).

Nägime, et arvutusteks on otstarbekam kasutada võrrandeid, milles ei esine vektorid, vaid nende projektsioonid koordinaattelgedel.

Sirgjoonelisel liikumisel on vektorid ${\overrightarrow{v}}_0$ ja $\overrightarrow{v}$ suunatud ühte ja sama sirget mööda, mis on ühtlasi ka liikumise trajektooriks. Selle sirge sihis valime ka koordinaattelje (x-telje).

Eespool (§ 5) nägime, et kahe vektori summa projektsioon mingil teljel võrdub nende vektorite projektsioonide summaga. Tähistame vektorite ${\overrightarrow{v}}_0$, $\overrightarrow{v}$ ja $\overrightarrow{a}$ projektsioonid x-teljel $v_{0x}$,$v_x$ja $a_x$. Sel juhul võime valemi (2) põhjal kirjutada:

$v_x=v_{0x}-a_{x}t$.

Et kõik need kolm vektorit asuvad ühel ja samal sirgel (x-teljel), võrduvad nende projektsioonide absoluutväärtused nende vektorite endi absoluutväärtustega. Vektorite projektsioonide märgid on aga määratud sellega, missugune on vektorite suund valitud koordinaattelje suhtes.

Kui vektorite ${\overrightarrow{v}}_0$ ja $\overrightarrow{a}$ projektsioonide märgid on ühesugused, siis kiiruse moodul aja jooksul kasvab — keha liigub kiirenevalt. Kui aga vektorite ${\overrightarrow{v}}_0$ ja $\overrightarrow{a}$ projektsioonide märgid on vastupidised, siis kiiruse moodul väheneb — keha liigub aeglustuvalt.

Kui keha liigub aeglustuvalt, siis peab kord saabuma hetk, mil keha kiirus võrdub nulliga (keha peatub). Valemist (3) nähtub, et see juhtub siis, kui $a_{x}t=-v_{0x}$, s. o. ajahetkel $t=-\frac{v_{0x}}{a_x}$. (Aeg on siin muidugi positiivne, sest $a_{x0}$ ja $a_x$ on vastupidiste märkidega.) Et kiirendus on konstantne (tema suund ja moodul ei muutu), siis hakkab hetkeks peatunud keha liikuma vastupidises suunas. Tõepoolest: kui $t>\frac{v_{0x}}{a_x}$, siis $a_{x}t$ saab suuremaks kui $|v_{0x}|$ ja kiiruse $\overrightarrow{v}$ projektsiooni märk muutub vastupidiseks. Nii liigub näiteks vertikaalselt üles visatud keha: jõudnud oma trajektoori kõrgeima punktini, hakkab see uuesti alla liikuma.

Liikumist, mille kiiruse absoluutväärtus kasvab, nimetatakse kiirenevaks ja liikumist, mille kiiruse absoluutväärtus kahaneb, aeglustuvaks. Kuid iga mitteühtlane liikumine on kiirendusega liikumine. Nii liikumist alustav kui ka pidurdav auto liiguvad kiirendusega. Kiirenev sirgjooneline liikumine erineb aeglustuvast ainult kiirendusvektori projektsiooni märgi poolest.

Nägime, et liikumine on suhteline ja seetõttu on ühe ja sama liikumise kiirus erinevates, üksteise suhtes liikuvates taustsüsteemides erinev. Kuidas on lugu kiirendusega? Kas ka see on suhteline?

Nagu teame, on keha kiirendus määratud kahele erinevale ajahetkele vastavate kiirusvektorite vahega. Kui kaks taustsüsteemi liiguvad teineteise suhtes ühtlaselt sirgjooneliselt, siis üleminekul ühest taustsüsteemist teise muutuvad mõlemad kiiruse väärtused. Kuid nad muutuvad ühe ja sama suuruse võrra. Seetõttu jääb nende vahe ja seega ka kiirendus muutumatuks.

Kõikides üksteise suhtes ühtlaselt sirgjooneliselt liikuvates taustsüsteemides on keha kiirendus ühesugune.

Kuid üksteise suhtes kiirendusega liikuvates taustsüsteemides on keha kiirendus erinev. Sel juhul liituvad kiirendused nagu kiirusedki (vt. § 8 ja 9).

Meile on kõige tähtsam arvutada keha koordinaate. See ongi mehaanika põhiülesanne. Kuid selle lahendamiseks tuleb osata arvutada keha nihet. Vaatleme, kuidas leida nihet ühtlaselt muutuval liikumisel.

Nihke valemit on kõige lihtsam tuletada graafiliselt.

Paragrahvis 7 nägime, et ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel võrdub keha nihe kiiruse graafiku alla jääva kujundi (ristküliku) pindalaga. Püüame kindlaks teha, kas see kehtib ka ühtlaselt muutuva liikumise kohta.

Keha ühtlaselt muutuval liikumisel mööda x-telge ei ole keha kiirus ajast sõltumatu jääv suurus, vaid muutub vastavalt valemile:

$v_x=v_{0x}+a_{x}t$

Selles valemis tähendavad $v_x$, $v_{0x}$ ja $a_x$ vektorite $\overrightarrow{v}$, ${\overrightarrow{v}}_0$ ja $\overrightarrow{a}$ projektsioone x-teljel.

Seetõttu on kiiruse graafikutel joonisel 38 näidatud kuju. Sirge 1 sellel joonisel vastab positiivse kiirendusega liikumisele (kiirus kasvab) ja sirge 2 negatiivse kiirendusega liikumisele (kiirus kahaneb). Nendele graafikutele vastavate liikumiste algkiirused on võrdsed, s. o. kui ajahetk $t=0$, siis keha kiirus on $v_{0x}$.

Joon. 38.	Joon. 39.

Eraldame ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse graafikul väikese lõigu $ab$ (joon. 39) ja tõmbame punktidest $a$ ja $b$ ristsirged ajateljele. Ajatelje lõik $cd$ võrdub arvuliselt väikese ajavahemikuga, mille vältel kiirus muutus punktile $a$ vastavalt väärtuselt kuni punktile $b$ vastava väärtuseni. Graafiku lõigu $ab$ all paikneb kitsas riba $abdc$.

Kui lõigule $cd$ vastav ajavahemik on küllalt väike, siis selle ajavahemiku vältel muutub kiirus samuti vähe. Selle väikese ajavahemiku jooksul võib lugeda liikumist ühtlaseks. Kujund $abdc$ erineb sel juhul väga vähe ristkülikust ning selle pindala võrdub lõigule $cd$ vastava ajavahemiku jooksul toimunud nihkega.

Sellisteks kitsasteks ribadeks võib jaotada kiiruse graafiku all paikneva kujundi kogu pindala. Seega võrdub aja $t$ jooksul toimunud nihe trapetsi $OABC$ pindalaga. Nagu geomeetriast teame, võrdub trapetsi pindala aluste poolsumma ja kõrguse korrutisega. Antud juhul võrduvad aluste pikkused arvuliselt $v_0$ ja $v_x$ . Kõrgus aga võrdub arvuliselt ajaga $t$. Siit järeldub, et nihe $s$ võrdub:

$s_x=\frac{v_{0x}+v_x}{2}t$

Asetame sellesse valemisse $v_x$ asemel $v_{0x}+a_{x}t$;

$s_x=\frac{v_{0x}+v_{0x}+a_{x}t}{2}t=\frac{2v_{0x}t+a_x{t}^2}{2}t$

$s_x=v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}t$

Nende valemite kasutamisel tuleb silmas pidada, et $s_x$, $v_{0x}$ ja $a_x$ võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed, sest nad on vektorite $\overrightarrow{s}$, ${\overrightarrow{v}}_0$ ja $\overrightarrow{a}$ projektsioonid x-teljel. Joonisel 39 kujutatud juhul on kiirendusvektori projektsioon positiivne (kurus kasvab). Joonisel 40 on aga kujutatud graafiliselt ühtlaselt muutuv liikumine, mille kiirendusvektori projektsioon on negatiivne ja algkiirusvektori projektsioon positiivne (aeglustuv liikumine).

Joon. 40.	Joon. 41.

Kui algkiirus $v_0$ võrdub nulliga, siis valem (1) avaldub järgmisel kujul:

$s=\frac{a_x{t}^2}{2}$

Selle liikumise graafik on kujutatud joonisel 41.

Nihke valemi põhjal võime kergesti leida ka valemi keha koordinaadi arvutamiseks. Nägime (vt §4) keha koordinaadi $x$ leidmiseks mingil ajahetkel $t$ tuleb algkoordinaadile $x_0$ liita keha nihkevektori projektsioon koordinaatteljel:

$x=x_0-s_x$

Seega:

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$

See valem võimaldab leida ühtlaselt muutuval sirgjoonelisel liikumisel keha asukohta mis tahes ajahetkel. Keha koordinaadi $x$ leidmiseks tuleb teada algkoordinaati $x_0$, algkiirust $v_{0x}$ ja kiirendust $a_x$.

Auto liikus kiirusega $72\frac{km}{h}$, kui autojuht märkas punast tuld ja hakkas pidurdama. Pidurdamisel liikus auto kiirendusega $5\frac{m}{s^2}$. Kui pika tee läbis auto $2$ sekundiga pärast pidurdamise algust? Kui pika tee läbis auto kuni täieliku peatumiseni?

Auto liikus kiirusega $72\frac{km}{h}$, kui autojuht märkas punast tuld ja hakkas pidurdama. Pidurdamisel liikus auto kiirendusega $5\frac{m}{s^2}$. Kui pika tee läbis auto $2$ sekundiga pärast pidurdamise algust? Kui pika tee läbis auto kuni täieliku peatumiseni?

Lahendus

Valime koordinaattelje suunaks auto liikumise suuna (joon. 42) ja koordinaatide alguspunktiks punkti, kus auto hakkas pidurdama. Aja arvutamise alghetkeks olgu piduripedaalile vajutamise hetk.

Auto kiiruse ${\overrightarrow{v}}_0$ suund ühtib x-telje suunaga, kiirenduse suund on aga sellele vastupidine. Seega kiirusvektori ${\overrightarrow{v}}_0$ projektsioon on positiivne, kiirendusvektori $\overrightarrow{a}$ projektsioon aga negatiivne: $a_x=-\frac{m}{s^2}$.

Auto koordinaadi leiame valemist:

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$.

Pannes sellesse valemisse arvväärtused $x_0=0$, $v_{0x}=20\frac{m}{s}$ ja $a_x=-5\frac{m}{s^2}$, saame:

$x=0+20\frac{m}{s}\cdot 2s+\frac{-5\frac{m}{s^2}\cdot 4s^2}{2}=40m-10m=30m$.

Nüüd leiame, kui pika tee läbis auto kuni täieliku peatumiseni. Selleks tuleb meil teada auto liikumise aega pidurdamisel $t_1$. Selle võime leida valemist:

$v_x=v_{0x}-a_{x}t$.

Auto peatumise hetkel võrdub kiirus $v_x$ nulliga. Seega:

$0=v_{0x}+a_x{t}_1$,

$t_1=-\frac{v_{0x}}{a_x}$.

Asetame $t_1$ avaldise koordinaadi valemisse:

$x=x_0-\frac{v_{0x}^2}{a_x}+\frac{a_x}{2}\cdot \frac{v_{0x}^2}{a_x^2}=x_0-\frac{1}{2}\frac{v_{0x}^2}{a_x}$

Pannes saadud valemisse arvväärtused, saame:

$x=-\frac{1}{2}\frac{\left(20\frac{m}{s}\right)}{-5\frac{m}{s^2}}=40m$.